Versos de Tartaglia à Cardano - A resolução das equações do terceiro grau

Poesia pura, matemática, expressa em versos, foi assim que Tartaglia (pseudônimo de Niccolò Fontana, matemático italiano, cujo nome está ligado ao triângulo de Tartaglia e à solução da equação do terceiro grau) comunicou a Cardano (cientista, matemático, filósofo e médico. Pioneiro em introduzir as idéias gerais da teoria das equações algébricas. Na medicina o primeiro a descrever clinicamente a febre tifóide. Em Física, escreveu sobre as diferenças entre energias elétricas e magnéticas) o segredo da sua descoberta, por meio de versos.

Na época, os autores não dispunham ainda de uma notação adequada para tratar as equações em sua generalidade e não podiam, portanto, expressar seus métodos resumidamente mediante fórmulas, como fazemos hoje em dia.

A seguir, uma tradução para o português dos versos transcritos na página 120, da edição de 1554, dos Quesiti:

1. Quando o cubo com a coisa em apreço

Se igualam a qualquer número discreto, 

Acha dois outros diferentes nisso 

2. Depois terás isto por consenso

Que seu produto seja sempre igual 

Ao cubo do terço da coisa certo 

3. Depois, o resíduo geral 

Das raízes cúbicas subtraídas 

Será tua coisa principal. 

4. Na segunda destas operações, 

Quando o cubo estiver sozinho 

Observarás estas outras reduções 

5. Do número farás dois, de tal forma

Que um e outro produzam exatamente 

O cubo da terça parte da coisa. 

6. Depois, por um preceito comum 

Toma o lado dos cubos juntos 

E tal soma será teu conceito 

7. Depois, a terceira destas nossas contas 

Se resolve como a segunda, se observas bem 

Que suas naturezas são quase idênticas 

8. Isto eu achei, e não com passo tardo,

No mil quinhentos e trinta e quatro 

Com fundamentos bem firmes e rigorosos 

Na cidade cingida pelo mar.

É conveniente lembrar que Tartaglia (assim como depois, faria também Cardano) não utiliza coeficientes negativos em suas equações. Então, em vez de uma equação geral do terceiro grau, ele deve considerar três casos possíveis: 

X³ + ax = b, 

X³ = ax + b, 

X³ + b = ax .

Tartaglia chama cada um desses casos de operações e afirma que irá considerar, de início, equações do primeiro tipo: “cubo e coisa iguala número” (X³ + ax = b). No quarto verso começa a considerar o segundo tipo “quando o cubo estiver sozinho” (X³ = ax + b) e, no sétimo, faz referência ao terceiro caso (X³ + b = ax). 

Se propõe a resolver o primeiro caso, nos três versos iniciais, para depois justificar seu método, de uma forma simples.

O número se refere ao termo independente, que denotamos aqui por b. Quando diz “acha dois outros diferentes nisso”,está sugerindo tomar duas novas variáveis, cuja diferença seja precisamente b, isto é, escolher U e V tais que: U− V = b. 

A frase “... que seu produto seja sempre igual ao cubo da terça parte da coisa” significa que U e V devem verificar: U*V=(a/3)³

Finalmente, “o resíduo geral das raízes cúbicas subtraídas será tua coisa principal” significa que a solução é dada por:

A frase final “... a cidade cingida pelo mar” é uma referência a Veneza, onde realizou suas descobertas. 

fonte: Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares - http://www.cursooficinajf.com.br

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